Calcolo Esempi

$y = x \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \arctan (\frac{1}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2}) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{x^{1 - 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{x^{- 1}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

Sposta $x^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \cdot 1$

Passaggio 7

Moltiplica $\arctan (\frac{1}{x})$ per $1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{1 x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ e $x$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.3.4

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 8.3.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x^{1}}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.3.4.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.3.4.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.4.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.3.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.3.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 8.3.5

Per scrivere $\arctan (\frac{1}{x})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

Passaggio 8.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + \arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

Passaggio 8.4

Riordina i termini.

$\frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) - 1}{x + \frac{1}{x}}$