Calcolo Esempi

$y = x \sin (\frac{5}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (\frac{5}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{5}{x})] + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{5}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{5}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{5}{x}$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) (5 (- x^{- 2}))) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$x (\cos (\frac{5}{x}) (- 5 x^{- 2})) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{5}{x}) \cdot (- 5)) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{5}{x}) \cdot (- 5)) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$x^{- 1} (\cos (\frac{5}{x}) \cdot (- 5)) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $\cos (\frac{5}{x})$ .

$x^{- 1} (- 5 \cdot \cos (\frac{5}{x})) + \sin (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{- 1} (- 5 \cos (\frac{5}{x})) + \sin (\frac{5}{x}) \cdot 1$

Passaggio 8

Moltiplica $\sin (\frac{5}{x})$ per $1$ .

$x^{- 1} (- 5 \cos (\frac{5}{x})) + \sin (\frac{5}{x})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- 5 \cos (\frac{5}{x})) + \sin (\frac{5}{x})$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 5}{x} \cos (\frac{5}{x}) + \sin (\frac{5}{x})$

Passaggio 9.2.2

$\frac{- 5}{x}$ e $\cos (\frac{5}{x})$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{5}{x})}{x} + \sin (\frac{5}{x})$

Passaggio 9.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 \cos (\frac{5}{x})}{x} + \sin (\frac{5}{x})$