Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x} + 1$ e $g (x) = e^{x} - 1$ .

$\frac{(e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1] - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} + (- e^{x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1

Combina i termini opposti in $e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}$ .

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Passaggio 7.4.1.1

Sottrai $e^{x} e^{x}$ da $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{0 - 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2

Sottrai $1 e^{x}$ da $0$ .

$\frac{- 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.4.2.1

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- e^{x} - 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2.3

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.3

Sottrai $e^{x}$ da $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$