Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} - 2 a x + a^{2}}{x - a}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2}$ e $g (x) = x - a$ .

$\frac{(x - a) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 a x + a^{2}] - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 a x + a^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]$ .

$\frac{(x - a) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - a) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2 a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 a x$ rispetto a $x$ è $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $a^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + 0) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x - 2 a$ e $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - a$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + 0)}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \cdot 1}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(x - a) (2 x - 2 a)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x - 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 1 \cdot 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a \cdot a - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.7

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.7.1

Sposta $a$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 (a \cdot a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.7.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Sottrai $2 a x$ da $- 2 x a$ .

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Passaggio 3.2.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2.2

Sottrai $2 a x$ da $- 2 a x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 4 a x$ e $2 a x$ .

$\frac{x^{2} + 2 a^{2} - 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $a^{2}$ da $2 a^{2}$ .

$\frac{x^{2} + a^{2} - 2 a x}{{(x - a)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$\frac{a^{2} + x^{2} - 2 a x}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.4.1

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{a^{2} - 2 a x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 a x = 2 \cdot a \cdot x$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = a$ e $b = x$ .

$\frac{{(a - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di ${(a - x)}^{2}$ e ${(- a + x)}^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $- 1$ da $a$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - (x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- a) - (x)$ .

$\frac{{(- 1 (- a + x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Applica la regola del prodotto a $- 1 (- a + x)$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica ${(- a + x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.7

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.8

Riscrivi l'espressione.

$1$