Calcolo Esempi

$y = \frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (| 3 x |)$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | 3 x |$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $| 3 x |$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $| 3 x |$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 5

$\frac{1}{| 3 x |}$ e $x^{2}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 6.2

La derivata di $| u_{2} |$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{3 x}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{3 x}{| 3 x |}$ per $\frac{x^{2}}{| 3 x |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x \cdot x^{2}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 8

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x)}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x^{1})}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{2 + 1}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 8.3

Somma $2$ e $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 9

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x (3 x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 10

Moltiplica $3$ per $3$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x \cdot x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x^{1}) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 14

Somma $1$ e $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 15

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 16

Riduci le frazioni.

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Passaggio 16.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - 3 \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 16.2

$- 3$ e $\frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 3 (3 x^{3})}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 16.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 16.3.1

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 16.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \cdot 1}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 18

Riduci le frazioni.

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Passaggio 18.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 18.2

$5$ e $\frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$ .

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19

Semplifica.

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Passaggio 19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x)) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 19.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{5 (2 \ln (| 3 x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{5 (2 \ln (3 | x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.3

Semplifica $2 \ln (3 | x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{5 (\ln ({(3 | x |)}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $3 | x |$ .

$\frac{5 (\ln (3^{2} {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5 (\ln (9 {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.6

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{5 (\ln (9 x^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.7

Moltiplica $5 (\ln (9 x^{2}) x)$ .

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Passaggio 19.2.1.7.1

Riordina $\ln (9 x^{2})$ e $5$ .

$\frac{5 \cdot \ln (9 x^{2}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.7.2

Semplifica $5 \cdot \ln (9 x^{2})$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({(9 x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.8

Applica la regola del prodotto a $9 x^{2}$ .

$\frac{\ln (9^{5} {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.9

Eleva $9$ alla potenza di $5$ .

$\frac{\ln (59049 {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.10

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{5}$ .

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Passaggio 19.2.1.10.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (59049 x^{2 \cdot 5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.10.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.11

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.12

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 19.2.1.12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.12.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{3}}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.13

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 19.2.1.13.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.13.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 19.2.1.13.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x}{1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.13.2.4

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- x)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.1.14

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.2.2

Riordina i fattori in $\ln (59049 x^{10}) x - 5 x$ .

$\frac{x \ln (59049 x^{10}) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.3

Scomponi $x$ da $x \ln (59049 x^{10}) - 5 x$ .

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Passaggio 19.3.1

Scomponi $x$ da $x \ln (59049 x^{10})$ .

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.3.2

Scomponi $x$ da $- 5 x$ .

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.3.3

Scomponi $x$ da $x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5$ .

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Passaggio 19.4

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (3 | x |)}$