Calcolo Esempi

$y = {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 3$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 \cdot (5 x + 1) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $5$ per $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.12.1

Somma $5$ e $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.12.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.12.3

$\frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{(2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)) \cdot 4}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Passaggio 3.12.4

Sposta $4$ alla sinistra di $2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)$ .

$\frac{4 \cdot (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{4 (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 (5 x)) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{4 (10 x) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $10$ per $4$ .

$\frac{40 x + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{40 x + 4 \cdot 2 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.5

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 10 x) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.6

Moltiplica $- 10$ per $4$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.7

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 \cdot 15}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.8

Moltiplica $4$ per $15$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.9

Sottrai $40 x$ da $40 x$ .

$\frac{0 + 8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.10

Somma $0$ e $8$ .

$\frac{8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.11

Somma $8$ e $60$ .

$\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.12

Moltiplica $\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}}$ per $\frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.5.13

Moltiplica ${(5 x + 1)}^{2}$ per ${(5 x + 1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2 + 3}}$

Passaggio 4.5.13.2

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{5}}$