Calcolo Esempi

$y = {(2 x - 1)}^{3} {(x + 7)}^{- 3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(2 x - 1)}^{3}$ e $g (x) = {(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 3}] + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x + 7$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Passaggio 3.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \cdot 1) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 5.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 5.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + 0)$

Passaggio 5.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.7.1

Somma $2$ e $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \cdot 2$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.3.1

$- 3$ e $\frac{1}{{(x + 7)}^{4}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{- 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(2 x - 1)}^{3} (- \frac{3}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.3.3

${(2 x - 1)}^{3}$ e $\frac{3}{{(x + 7)}^{4}}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{3} \cdot 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 x - 1)}^{3}$ .

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.3.5

$6$ e $\frac{1}{{(x + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 6.3.6

$\frac{6}{{(x + 7)}^{3}}$ e ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$

Passaggio 6.3.7

Per scrivere $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Passaggio 6.3.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(x + 7)}^{4}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.3.8.1

Moltiplica $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ per $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} (x + 7)}$

Passaggio 6.3.8.2

Moltiplica ${(x + 7)}^{3}$ per $x + 7$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.3.8.2.1

Moltiplica ${(x + 7)}^{3}$ per $x + 7$ .

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Passaggio 6.3.8.2.1.1

Eleva $x + 7$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} {(x + 7)}^{1}}$

Passaggio 6.3.8.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3 + 1}}$

Passaggio 6.3.8.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $3 {(2 x - 1)}^{2}$ da $- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

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Passaggio 6.4.1.1

Scomponi $3 {(2 x - 1)}^{2}$ da $- 3 {(2 x - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.1.2

Scomponi $3 {(2 x - 1)}^{2}$ da $6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.1.3

Scomponi $3 {(2 x - 1)}^{2}$ da $3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1) + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x) - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 2 \cdot 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.6

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.7

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (0 + 1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.8

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.9

Somma $1$ e $14$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} \cdot 15}{{(x + 7)}^{4}}$

Passaggio 6.4.10

Moltiplica $15$ per $3$ .

$\frac{45 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{4}}$