Calcolo Esempi

$y = \frac{3 \tan (x)}{2 π - \sin (x)}$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 \tan (x)}{2 π - \sin (x)}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{2 π - \sin (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{2 π - \sin (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 π - \sin (x)$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [2 π - \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [2 π - \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 π - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $2 π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + 1 \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6

$3$ e $\frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{3 ((2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 π \sec^{2} (x) - \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 π \sec^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{3 (2 π {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 (2 π \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3 (2 π \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.4

Moltiplica $2 π \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

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Passaggio 7.3.1.4.1

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $2$ .

$\frac{3 (\frac{2}{\cos^{2} (x)} π) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.4.2

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ e $π$ .

$\frac{3 \frac{2 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.5

Moltiplica $3 \frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ .

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Passaggio 7.3.1.5.1

$3$ e $\frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{3 (2 π)}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.6

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.9

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.10

Moltiplica $3 (- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)})$ .

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Passaggio 7.3.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.10.2

$- 3$ e $\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.12

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 7.3.1.12.1

Riscrivi $3 (\tan (x) \cos (x))$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.12.2

Elimina i fattori comuni.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.2.2

Frazioni separate.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{\cos (x)} \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.2.4

Frazioni separate.

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.2.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{1} \sec (x) \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.2.6

Dividi $3$ per $1$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (3 \sec (x) \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.3.2.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$ per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Combina.

$\frac{\cos^{2} (x) (\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.4.4

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 7.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 π + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.4.5

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{6 π + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7.5

Riordina i termini.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) \sec (x) \tan (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x) + 6 π}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$