Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4} \cdot e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.2

$\frac{x}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{4 x}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x e^{4 x}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.10

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 2.11

Moltiplica $e^{4 x}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{1}{16}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \cdot 4)$

Passaggio 3.6

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (4 \cdot e^{4 x})$

Passaggio 3.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - 4 (\frac{1}{16}) e^{4 x}$

Passaggio 3.8

$- 4$ e $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4}{16} e^{4 x}$

Passaggio 3.9

$\frac{- 4}{16}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4 e^{4 x}}{16}$

Passaggio 3.10

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Scomponi $4$ da $- 4 e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{16}$

Passaggio 3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 (4)}$

Passaggio 3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- e^{4 x}}{4}$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x})) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{4} (4 e^{4 x}) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.2

$4$ e $\frac{x}{4}$ .

$\frac{4 x}{4} e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{4 x}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.4.2

Dividi $x e^{4 x}$ per $1$ .

$x e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.5

Per scrivere $x e^{4 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.6

$x e^{4 x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4 - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.8

Sposta $4$ alla sinistra di $x e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 \cdot (x e^{4 x}) - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.9

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.10

Per scrivere $\frac{1}{4} e^{4 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.11

$\frac{1}{4} e^{4 x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.13

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.14

$\frac{e^{4 x}}{4}$ e $4$ .

$\frac{\frac{e^{4 x} \cdot 4}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.15

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.16

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.16.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{4 e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.16.2

Dividi $e^{4 x}$ per $1$ .

$\frac{e^{4 x} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Passaggio 4.2.17

Sottrai $e^{4 x}$ da $e^{4 x}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x + 0}{4}$

Passaggio 4.2.18

Somma $4 e^{4 x} x$ e $0$ .

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Passaggio 4.2.19

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.19.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Passaggio 4.2.19.2

Dividi $e^{4 x} x$ per $1$ .

$e^{4 x} x$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori in $e^{4 x} x$ .

$x e^{4 x}$