Calcolo Esempi

$y = \frac{500}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Elimina il fattore comune di $500$ e $12 + 4 e^{- 0.5 x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $4$ da $500$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}]$

Passaggio 1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 e^{- 0.5 x}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Scomponi $4$ da $4 e^{- 0.5 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})}]$

Passaggio 1.1.2.3

Scomponi $4$ da $4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

Passaggio 1.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

Passaggio 1.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $125$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}$ rispetto a $x$ è $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

Passaggio 1.3

Riscrivi $\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}$ come ${(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}$ .

$125 \frac{d}{d x} [{(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 3 + e^{- 0.5 x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$125 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (- {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $125$ .

$- 125 ({(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + e^{- 0.5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.5 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 0.5$ per $- 125$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $e^{- 0.5 x}$ per $1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riordina i fattori di $62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$ .

$62.5 e^{- 0.5 x} {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ .

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Passaggio 6.3.1

$\frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ e $62.5$ .

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}} e^{- 0.5 x}$

Passaggio 6.3.2

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ e $e^{- 0.5 x}$ .

$\frac{62.5 e^{- 0.5 x}}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$