Calcolo Esempi

$y = \cot^{2} (\frac{1}{3 x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (\frac{1}{3 x})$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cot (\frac{1}{3 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cot (\frac{1}{3 x})$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \frac{1}{3 x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cot (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 3.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.3.1

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.3.2

$\frac{- 2}{3}$ e $\cot (\frac{1}{3 x})$ .

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3} \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.3.3

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3}$ e $\csc^{2} (\frac{1}{3 x})$ .

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.3.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} (- x^{- 2})$

Passaggio 3.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ per $1$ .

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

Passaggio 3.5.3

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) x^{- 2}}{3}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.4.1

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$

Passaggio 3.5.4.2

Riordina i termini.

$\frac{2 \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \cot (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$