Calcolo Esempi

$y = \frac{9 + 8 x - 4 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}] - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{x (8 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (8 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (8 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (8 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x (8 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x (8 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (8 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (8 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 10

$- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (8 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (8 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 12

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{x (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (8 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (8 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (8 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x (8 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 8 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (9 + 8 x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 8 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 17.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 17.3.1.1

Sposta $8$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{8 \cdot x + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x - x \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.3

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{8 x - \frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{8 x - (2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1.5.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.5.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 17.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 x - (2 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{8 x - (2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 x - (2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{8 x - (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{8 x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{8 x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 9 - (8 x) - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.8

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{8 x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 9 - 8 x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.1.9

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{8 x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 9 - 8 x + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.2

Combina i termini opposti in $8 x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 9 - 8 x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.1

Sottrai $8 x$ da $8 x$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 9 + 0 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.2.2

Somma $- 2 x^{\frac{1}{2}} - 9$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 9 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 17.3.3

Somma $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ e $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 9}{x^{2}}$