Calcolo Esempi

$y = \sqrt[5]{x} (3 - 9 x)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x}$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

$y = x^{\frac{1}{5}} (3 - 9 x)$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}} (3 - 9 x))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = 3 - 9 x$ .

$x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [3 - 9 x] + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 4.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{5}} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 4.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [- 9 x] + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 4.2.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{5}} (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 4.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{5}} (- 9 \cdot 1) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 4.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{5}} \cdot - 9 + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 4.2.6.2

Sposta $- 9$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 9 \cdot x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 4.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Passaggio 4.8

$\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Passaggio 4.9

Sposta $x^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + 3 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 9 x \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

$3$ e $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 9 x \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2.2

$- 9$ e $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + x \frac{- 9}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2.3

$x$ e $\frac{- 9}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{x \cdot - 9}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2.4

Sposta $- 9$ alla sinistra di $x$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 \cdot x}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2.5

Sposta $x^{\frac{4}{5}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x \cdot x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Passaggio 4.10.2.6

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.6.1

Sposta $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 (x^{- \frac{4}{5}} x)}{5}$

Passaggio 4.10.2.6.2

Moltiplica $x^{- \frac{4}{5}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 (x^{- \frac{4}{5}} x^{1})}{5}$

Passaggio 4.10.2.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{- \frac{4}{5} + 1}}{5}$

Passaggio 4.10.2.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{- \frac{4}{5} + \frac{5}{5}}}{5}$

Passaggio 4.10.2.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{\frac{- 4 + 5}{5}}}{5}$

Passaggio 4.10.2.6.5

Somma $- 4$ e $5$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 4.10.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{9 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 4.10.2.8

Per scrivere $- 9 x^{\frac{1}{5}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2.9

$- 9 x^{\frac{1}{5}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 9 x^{\frac{1}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 9 x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 - 9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2.11

Moltiplica $5$ per $- 9$ .

$\frac{- 45 x^{\frac{1}{5}} - 9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2.12

Sottrai $9 x^{\frac{1}{5}}$ da $- 45 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{- 54 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.10.3

Riordina i termini.

$\frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5}$