Calcolo Esempi

$y = \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Combina i termini opposti in $1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Sottrai $\sin (x) \cos (x)$ da $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 \cos (x) + 0}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Somma $1 \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{1 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$