Calcolo Esempi

$y = \sqrt{\sec (4 x)}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\sec (4 x)}$ come ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.6.3

Sposta ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 4.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 4.7.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 4.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 4.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.8.1

$\sec (4 x)$ e $\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 4.8.2

$\tan (4 x)$ e $\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.8.3

Sposta ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.9

Moltiplica $\sec (4 x)$ per ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.9.1

Sposta ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ per $\sec (4 x)$ .

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Passaggio 4.9.2.1

Eleva $\sec (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.9.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.9.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.11

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.11.1

$4$ e $\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.11.2

Scomponi $2$ da $4 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.12.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.12.4

Dividi $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.14.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.14.2

Riordina i fattori di $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$