Calcolo Esempi

$y = \sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$ come ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sin^{2} (3 x) + x$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin^{2} (3 x) + x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin^{2} (3 x) + x$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.6.2.2

Sposta ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

Passaggio 4.6.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin^{2} (3 x) + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Passaggio 4.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 4.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $3 x$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.8.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.9

Differenzia.

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Passaggio 4.9.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.9.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.9.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.9.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$

Passaggio 4.9.6

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$ .

$(6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) \frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$