Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 9$ e $g (x) = 2 x^{2} + 8$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [2 x - 9] - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $2 x^{2} + 8$ .

$\frac{2 \cdot (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.12.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 + (- 4 (2 x) - 4 \cdot - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.4.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.4.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.4

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16 + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$\frac{- 4 x^{2} + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2} + 36 x + 16$ .

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Passaggio 3.3.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.6.2

Scomponi $4$ da $36 x$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.6.3

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.6.4

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2}) + 4 (9 x)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.6.5

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.3.7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 8$ .

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Passaggio 3.3.7.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2}) + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.3.7.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.7.1.3

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 \cdot 4$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Passaggio 3.3.7.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{2^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.7.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.8

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.9

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.10

Scomponi $- 1$ da $9 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.11

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 9 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.12

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.13

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.14

Riscrivi $- (x^{2} - 9 x - 4)$ come $- 1 (x^{2} - 9 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$