Calcolo Esempi

$y = \frac{5 - 7 x + 9 x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 - 7 x + 9 x^{2}}{x^{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 - 7 x + 9 x^{2}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - 7 x + 9 x^{2}] - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - 7 x + 9 x^{2}] - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - 7 x + 9 x^{2}] - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 7 x + 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 9 (2 x)) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 18 x) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 18 x) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.2.12.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.12.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x$ .

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Passaggio 3.2.12.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (- 7 + 18 x)$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x)) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.12.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x)) + x (- 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x^{4}}$

Passaggio 3.2.12.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (- 7 + 18 x)) + x (- 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x^{4}}$

Passaggio 3.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot - 7 + x (18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot - 7 + x (18 x) - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.3.1.1

Sposta $- 7$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 7 \cdot x + x (18 x) - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 7 x + 18 x \cdot x - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 7 x + 18 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 10 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.5

Moltiplica $- 7$ per $- 2$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 10 + 14 x - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3.1.6

Moltiplica $9$ per $- 2$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 10 + 14 x - 18 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3.2

Combina i termini opposti in $- 7 x + 18 x^{2} - 10 + 14 x - 18 x^{2}$ .

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Passaggio 3.4.3.2.1

Sottrai $18 x^{2}$ da $18 x^{2}$ .

$\frac{- 7 x - 10 + 14 x + 0}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3.2.2

Somma $- 7 x - 10 + 14 x$ e $0$ .

$\frac{- 7 x - 10 + 14 x}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3.3

Somma $- 7 x$ e $14 x$ .

$\frac{7 x - 10}{x^{3}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{7 x - 10}{x^{3}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x - 10}{x^{3}}$