Calcolo Esempi

y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

y = \ln (x^{\ln (x)})

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

Passaggio 3

La derivata di

y

$y$ rispetto a

x

$x$ è

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ e

g (x) = x^{\ln (x)}

$g (x) = x^{\ln (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u_{1}

$u_{1}$ come

x^{\ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ .

\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di

\ln (u_{1})

$\ln (u_{1})$ rispetto a

u_{1}

$u_{1}$ è

\frac{1}{u_{1}}

$\frac{1}{u_{1}}$ .

\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u_{1}

$u_{1}$ con

x^{\ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ .

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Passaggio 4.2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi

x^{\ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ come

e^{\ln (x^{\ln (x)})}

$e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Passaggio 4.2.2

Espandi

\ln (x^{\ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ spostando

\ln (x)

$\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Passaggio 4.3

Eleva

\ln (x)

$\ln (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Passaggio 4.4

Eleva

\ln (x)

$\ln (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Passaggio 4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Passaggio 4.6

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ e

g (x) = \ln^{2} (x)

$g (x) = \ln^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u_{2}

$u_{2}$ come

\ln^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ .

\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Passaggio 4.7.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è

a^{u_{2}} \ln (a)

$a^{u_{2}} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Passaggio 4.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u_{2}

$u_{2}$ con

\ln^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ .

\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Passaggio 4.8

e^{\ln^{2} (x)}

$e^{\ln^{2} (x)}$ e

\frac{1}{x^{\ln (x)}}

$\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ e

g (x) = \ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u_{3}

$u_{3}$ come

\ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]

$\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è

n {u_{3}}^{n - 1}

$n {u_{3}}^{n - 1}$ dove

n = 2

$n = 2$ .

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u_{3}

$u_{3}$ con

\ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

2

$2$ e

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.10.2

\ln (x)

$\ln (x)$ e

\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 4.11

La derivata di

\ln (x)

$\ln (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 4.12

Moltiplica

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ per

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

Passaggio 4.13

Moltiplica

x^{\ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Eleva

x

$x$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

Passaggio 4.13.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Passaggio 4.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Passaggio 4.14.2

Semplifica

2 \ln (x)

$2 \ln (x)$ spostando

2

$2$ all'interno del logaritmo.

\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Passaggio 4.14.3

Riordina i fattori in

\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Passaggio 6

Sostituisci

y'

$y'$ con

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$