Calcolo Esempi

$y = (1 + x - x^{2}) e^{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + x - x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(1 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x - x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x - x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - (2 x))$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - 2 x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} (1 - 2 x)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 2 x)$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 2 x)$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Passaggio 4.3.3

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Passaggio 4.3.4

Somma $x e^{x}$ e $e^{x} (- 2 x)$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Sposta $e^{x}$ .

$x e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 4.3.4.2

Sottrai $2 x e^{x}$ da $x e^{x}$ .

$- x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$- e^{x} x - e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

Passaggio 4.5

Riordina i fattori in $- e^{x} x - e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$ .

$- x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$