Calcolo Esempi

$y = (x^{3} + 2 x - 7) (3 + x - x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3} + 2 x - 7$ e $g (x) = 3 + x - x^{2}$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [3 + x - x^{2}] + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - (2 x)) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.13

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 + 0)$

Passaggio 2.14

Somma $3 x^{2} + 2$ e $0$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $1$ da $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1$ da $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)$ .

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $1$ da $(3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ .

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + 1 ((3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $1$ da $1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + 1 ((3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$ .

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$

Passaggio 3.2

Moltiplica $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ per $1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$(1 - 2 x) (x^{3} + 2 x - 7) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $(1 - 2 x) (x^{3} + 2 x - 7)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$1 x^{3} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$x^{3} + 2 x + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 (x^{3} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.4.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{3 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.4.3

Somma $3$ e $1$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.6.1

Sposta $x$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.2.8

Moltiplica $- 7$ per $- 2$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.3

Somma $2 x$ e $14 x$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 3.4.4

Espandi $(3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x \cdot x^{2} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.4

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 (x^{2} x) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{2 + 1} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 \cdot x - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.7.3

Somma $2$ e $2$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{4} - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4} - x^{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4.5.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4} - 2 x^{2}$

Passaggio 3.4.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $9 x^{2}$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4}$

Passaggio 3.5

Somma $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} + 6 + 2 x - 3 x^{4}$

Passaggio 3.6

Somma $- 7$ e $6$ .

$4 x^{3} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} - 1 + 2 x - 3 x^{4}$

Passaggio 3.7

Sottrai $3 x^{4}$ da $- 2 x^{4}$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} - 1 + 2 x$

Passaggio 3.8

Somma $- 4 x^{2}$ e $7 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 16 x - 1 + 2 x$

Passaggio 3.9

Somma $16 x$ e $2 x$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 18 x - 1$