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Calcolo Esempi
f(x)=√xx-4√x+4f(x)=√xx−4√x+4
Passaggio 1
Trova dove l'espressione √xx-4√x+4 è indefinita.
x<0,x=4
Passaggio 2
Poiché √xx-4√x+4→∞ con x→4 da sinistra e √xx-4√x+4→∞ con x→4 da destra, allora x=4 è un asintoto verticale.
x=4
Passaggio 3
Passaggio 3.1
Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di x nel denominatore, che è √x2=x.
limx→∞√xx2xx+-4√xx+4x
Passaggio 3.2
Calcola il limite.
Passaggio 3.2.1
Semplifica ciascun termine.
limx→∞√xx21-4√xx+4x
Passaggio 3.2.2
Elimina il fattore comune di x e x2.
Passaggio 3.2.2.1
Eleva x alla potenza di 1.
limx→∞√x1x21-4√xx+4x
Passaggio 3.2.2.2
Scomponi x da x1.
limx→∞√x⋅1x21-4√xx+4x
Passaggio 3.2.2.3
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 3.2.2.3.1
Scomponi x da x2.
limx→∞√x⋅1x⋅x1-4√xx+4x
Passaggio 3.2.2.3.2
Elimina il fattore comune.
limx→∞√x⋅1x⋅x1-4√xx+4x
Passaggio 3.2.2.3.3
Riscrivi l'espressione.
limx→∞√1x1-4√xx+4x
limx→∞√1x1-4√xx+4x
limx→∞√1x1-4√xx+4x
Passaggio 3.2.3
Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando x tende a ∞.
limx→∞√1xlimx→∞1-4√xx+4x
Passaggio 3.2.4
Sposta il limite sotto il segno radicale.
√limx→∞1xlimx→∞1-4√xx+4x
√limx→∞1xlimx→∞1-4√xx+4x
Passaggio 3.3
Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione 1x tende a 0.
√0limx→∞1-4√xx+4x
Passaggio 3.4
Calcola il limite.
Passaggio 3.4.1
Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando x tende a ∞.
√0limx→∞1-limx→∞4√xx+limx→∞4x
Passaggio 3.4.2
Calcola il limite di 1 che è costante, mentre x tende a ∞.
√01-limx→∞4√xx+limx→∞4x
Passaggio 3.4.3
Sposta il termine 4 fuori dal limite perché è costante rispetto a x.
√01-4limx→∞√xx+limx→∞4x
√01-4limx→∞√xx+limx→∞4x
Passaggio 3.5
Applica la regola di de l'Hôpital
Passaggio 3.5.1
Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.
Passaggio 3.5.1.1
Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.
√01-4limx→∞√xlimx→∞x+limx→∞4x
Passaggio 3.5.1.2
Con x che tende a ∞ per i radicali, il valore diventa ∞.
√01-4∞limx→∞x+limx→∞4x
Passaggio 3.5.1.3
Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.
√01-4∞∞+limx→∞4x
Passaggio 3.5.1.4
Infinito diviso per infinito è indefinito.
Indefinito
√01-4∞∞+limx→∞4x
Passaggio 3.5.2
Poiché ∞∞ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.
limx→∞√xx=limx→∞ddx[√x]ddx[x]
Passaggio 3.5.3
Trova la derivata del numeratore e del denominatore.
Passaggio 3.5.3.1
Differenzia numeratore e denominatore.
√01-4limx→∞ddx[√x]ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.2
Usa n√ax=axn per riscrivere √x come x12.
√01-4limx→∞ddx[x12]ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che ddx[xn] è nxn-1 dove n=12.
√01-4limx→∞12x12-1ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.4
Per scrivere -1 come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per 22.
√01-4limx→∞12x12-1⋅22ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.5
-1 e 22.
√01-4limx→∞12x12+-1⋅22ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.6
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
√01-4limx→∞12x1-1⋅22ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.7
Semplifica il numeratore.
Passaggio 3.5.3.7.1
Moltiplica -1 per 2.
√01-4limx→∞12x1-22ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.7.2
Sottrai 2 da 1.
√01-4limx→∞12x-12ddx[x]+limx→∞4x
√01-4limx→∞12x-12ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.8
Sposta il negativo davanti alla frazione.
√01-4limx→∞12x-12ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.9
Semplifica.
Passaggio 3.5.3.9.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo b-n=1bn.
√01-4limx→∞12⋅1x12ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.9.2
Moltiplica 12 per 1x12.
√01-4limx→∞12x12ddx[x]+limx→∞4x
√01-4limx→∞12x12ddx[x]+limx→∞4x
Passaggio 3.5.3.10
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che ddx[xn] è nxn-1 dove n=1.
√01-4limx→∞12x121+limx→∞4x
√01-4limx→∞12x121+limx→∞4x
Passaggio 3.5.4
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
√01-4limx→∞12x12⋅1+limx→∞4x
Passaggio 3.5.5
Riscrivi x12 come √x.
√01-4limx→∞12√x⋅1+limx→∞4x
Passaggio 3.5.6
Moltiplica 12√x per 1.
√01-4limx→∞12√x+limx→∞4x
√01-4limx→∞12√x+limx→∞4x
Passaggio 3.6
Sposta il termine 12 fuori dal limite perché è costante rispetto a x.
√01-4(12)limx→∞1√x+limx→∞4x
Passaggio 3.7
Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione 1√x tende a 0.
√01-4(12)⋅0+limx→∞4x
Passaggio 3.8
Sposta il termine 4 fuori dal limite perché è costante rispetto a x.
√01-4(12)⋅0+4limx→∞1x
Passaggio 3.9
Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione 1x tende a 0.
√01-4(12)⋅0+4⋅0
Passaggio 3.10
Semplifica la risposta.
Passaggio 3.10.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 3.10.1.1
Riscrivi 0 come 02.
√021-4(12)⋅0+4⋅0
Passaggio 3.10.1.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
01-4(12)⋅0+4⋅0
01-4(12)⋅0+4⋅0
Passaggio 3.10.2
Semplifica il denominatore.
Passaggio 3.10.2.1
Elimina il fattore comune di 2.
Passaggio 3.10.2.1.1
Scomponi 2 da -4.
01+2(-2)12⋅0+4⋅0
Passaggio 3.10.2.1.2
Elimina il fattore comune.
01+2⋅-212⋅0+4⋅0
Passaggio 3.10.2.1.3
Riscrivi l'espressione.
01-2⋅0+4⋅0
01-2⋅0+4⋅0
Passaggio 3.10.2.2
Moltiplica -2 per 0.
01+0+4⋅0
Passaggio 3.10.2.3
Moltiplica 4 per 0.
01+0+0
Passaggio 3.10.2.4
Somma 1+0 e 0.
01+0
Passaggio 3.10.2.5
Somma 1 e 0.
01
01
Passaggio 3.10.3
Dividi 0 per 1.
0
0
0
Passaggio 4
Elenca gli asintoti orizzontali:
y=0
Passaggio 5
Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.
Impossibile trovare asintoti obliqui
Passaggio 6
Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.
Asintoti verticali: x=4
Asintoti orizzontali: y=0
Impossibile trovare asintoti obliqui
Passaggio 7