Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione

$\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ è indefinita.

$x < 0, x = 4$

Passaggio 2

Poiché

$\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$

$\to$

$\infty$ con

$x$

$\to$

$4$ da sinistra e

$\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$

$\to$

$\infty$ con

$x$

$\to$

$4$ da destra, allora

$x = 4$ è un asintoto verticale.

$x = 4$

Passaggio 3

Calcola

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di

$x$ nel denominatore, che è

$\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di

$x$ e

$x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2.2.2

Scomponi

$x$ da

$x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2.2.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Scomponi

$x$ da

$x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

$\frac{1}{x}$ tende a

$0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.4.2

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.4.3

Sposta il termine

$4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.1.2

Con

$x$ che tende a

$\infty$ per i radicali, il valore diventa

$\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.2

Poiché

$\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.2

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{x}$ come

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.4

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.5

$- 1$ e

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.7.1

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.7.2

Sottrai

$2$ da

$1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.9.2

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi

$x^{\frac{1}{2}}$ come

$\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per

$1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.6

Sposta il termine

$\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ tende a

$0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.8

Sposta il termine

$4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.9

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

$\frac{1}{x}$ tende a

$0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1.1

Riscrivi

$0$ come

$0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1.1

Scomponi

$2$ da

$- 4$ .

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.2

Moltiplica

$- 2$ per

$0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3

Moltiplica

$4$ per

$0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Passaggio 3.10.2.4

Somma

$1 + 0$ e

$0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Passaggio 3.10.2.5

Somma

$1$ e

$0$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 3.10.3

Dividi

$0$ per

$1$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 5

Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali:

$x = 4$

Asintoti orizzontali:

$y = 0$

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 7