Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 3.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 3.1.1.2.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $2$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 3.1.1.2.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $2$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 3.1.1.2.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 3.1.1.2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.3.1

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 3.1.1.2.3.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.1.2.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 3.1.1.2.3.2.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 3.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 3.1.1.3.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 3.1.1.3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Passaggio 3.1.1.3.4

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.1.3.5

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Passaggio 3.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Passaggio 3.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{x} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Passaggio 3.1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Passaggio 3.1.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Passaggio 3.1.3.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Passaggio 3.1.3.5

Somma $2 e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Passaggio 3.1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.1.3.7

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

Passaggio 3.1.3.9

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Passaggio 3.1.4.2

Dividi $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$2$

Passaggio 4

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 4.1

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 4.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 4.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 4.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite.

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Passaggio 4.3.1

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Passaggio 4.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Passaggio 4.4

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.5.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Sottrai $6$ da $0$ .

$\frac{- 6}{0 + 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{- 6}{1}$

Passaggio 4.5.2.3

Dividi $- 6$ per $1$ .

$- 6$

Passaggio 5

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 2, - 6$

Passaggio 6

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 2, - 6$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 8