Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ è indefinita.

$x = \ln (9)$

Passaggio 2

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Passaggio 2.2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Passaggio 2.2.1.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Passaggio 2.2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 9}$

Passaggio 2.2.1.3.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 9}$

Passaggio 2.2.1.3.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.1

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 9}$

Passaggio 2.2.1.3.3.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 9}$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.1.3.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Passaggio 2.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Passaggio 2.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Passaggio 2.2.3.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

Passaggio 2.2.3.6

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 lim_{x \to \infty} 1$

Passaggio 2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Passaggio 3.1.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Passaggio 3.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 9}$

Passaggio 3.4

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$2 \frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} 9}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 9}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $0 - 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Riscrivi $0$ come $- 1 (0)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 \cdot 9}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 9$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 (9)}$

Passaggio 3.5.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (0) - 1 (9)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 9)}$

Passaggio 3.5.2.1.4

Scomponi $9$ da $0$ .

$2 \frac{9 (0)}{- 1 (0 + 9)}$

Passaggio 3.5.2.1.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.5.1

Scomponi $9$ da $- 1 (0 + 9)$ .

$2 \frac{9 (0)}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Passaggio 3.5.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{9 \cdot 0}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Passaggio 3.5.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 1)}$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (\frac{0}{- 1})$

Passaggio 3.5.2.4

Dividi $0$ per $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Passaggio 3.5.2.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 2, 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = \ln (9)$

Asintoti orizzontali: $y = 2, 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7