Calcolo Esempi

$f (x) = {(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.3

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.5.2

Sottrai $7$ da $6$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.6.2

$\frac{6}{7}$ e ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ .

$\frac{6 {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.1.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.10.2

Moltiplica $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $6 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{{(x + 2)}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$7 \sqrt[7]{x + 2} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $7$ potenza.

${(7 \sqrt[7]{x + 2})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{x + 2}$ come ${(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

$7^{7} {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $7$ .

$823543 {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$823543 {(x + 2)}^{1} = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$823543 (x + 2) = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$823543 x + 823543 \cdot 2 = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6

Moltiplica $823543$ per $2$ .

$823543 x + 1647086 = 0^{7}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$823543 x + 1647086 = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $1647086$ da entrambi i lati dell'equazione.

$823543 x = - 1647086$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi per $823543$ ciascun termine in $823543 x = - 1647086$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividi per $823543$ ciascun termine in $823543 x = - 1647086$ .

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $823543$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

Passaggio 3.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1647086}{823543}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Dividi $- 1647086$ per $823543$ .

$x = - 2$

Passaggio 4

Risolvi ${(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

${((- 2) + 2)}^{\frac{6}{7}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$0^{\frac{6}{7}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{7}$ .

${(0^{7})}^{\frac{6}{7}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{6}$

Passaggio 4.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- 2, 0)$

Passaggio 5