Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$ è indefinita.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6^{2}}{2 x + 5}$

Passaggio 5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 6$ .

$\frac{(x + 6) (x - 6)}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2

Espandi $(x + 6) (x - 6)$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 6) + 6 (x - 6)}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 (x - 6)}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.4

Riordina $x$ e $- 6$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $6$ per $- 6$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 6 x - 36}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.10

Somma $- 6 x$ e $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 36}{2 x + 5}$

Passaggio 5.2.11

Sottrai $36$ da $0$ .

$\frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$36$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{5 x}{2}$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + \frac{5 x}{2}$

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- \frac{5 x}{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- \frac{5 x}{2} - \frac{25}{4}$

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{25}{4}$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{25}{4}$
							-	$\frac{119}{4}$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{x}{2} - \frac{5}{4} - \frac{119}{4 (2 x + 5)}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{5}{2}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Passaggio 7