Calcolo Esempi

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

Passaggio 1

Sottrai $\cos^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $3 \sin^{2} (x)$ con $3 (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $\cos^{2} (x)$ da $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 5

Riordina il polinomio.

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 6

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Passaggio 7

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Passaggio 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Passaggio 9

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 12.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Passaggio 12.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 12.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 12.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.3.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 12.4.3.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 13.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 13.4

Semplifica $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 13.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 13.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Passaggio 13.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.3.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Passaggio 13.4.3.2

Sottrai $5 π$ da $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Combina $\frac{π}{6} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ in $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15.2

Combina $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ in $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{6} + π (0)$

Passaggio 16.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Passaggio 16.1.2.2

Somma $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$\frac{π}{6}$

Passaggio 16.1.3

L'intervallo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 16.2

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

Passaggio 16.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Passaggio 16.2.2.2

Somma $\frac{5 π}{6}$ e $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Passaggio 16.2.3

L'intervallo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 16.3

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{π}{6} + π (1)$

Passaggio 16.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Passaggio 16.3.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 16.3.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.3.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Passaggio 16.3.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Passaggio 16.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.4.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Passaggio 16.3.2.4.2

Somma $π$ e $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Passaggio 16.3.3

L'intervallo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Passaggio 16.4

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

Passaggio 16.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{5 π}{6} + π$

Passaggio 16.4.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 16.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.2.3.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Passaggio 16.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

Passaggio 16.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.2.4.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

Passaggio 16.4.2.4.2

Somma $5 π$ e $6 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 16.4.3

L'intervallo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{11 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$