Calcolo Esempi

$p (t) = \frac{2000 t}{4 t + 75}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{2000 t}{4 t + 75}$ rispetto a $t$ è $2000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 t + 75}]$ .

$f' (t) = 2000 \frac{d}{d t} (\frac{t}{4 t + 75})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = 4 t + 75$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{(4 t + 75) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (4 t + 75)}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{(4 t + 75) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (4 t + 75)}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $4 t + 75$ per $1$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{4 t + 75 - t \frac{d}{d t} (4 t + 75)}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t + 75$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75]$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{4 t + 75 - t (\frac{d}{d t} (4 t) + \frac{d}{d t} (75))}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{4 t + 75 - t (4 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (75))}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{4 t + 75 - t (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (75))}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{4 t + 75 - t (4 + \frac{d}{d t} (75))}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.7

Poiché $75$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $75$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{4 t + 75 - t (4 + 0)}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Somma $4$ e $0$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{4 t + 75 - t \cdot 4}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.8.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{4 t + 75 - 4 t}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.8.3

Sottrai $4 t$ da $4 t$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{0 + 75}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.8.4

Somma $0$ e $75$ .

$f' (t) = 2000 (\frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 1.3.8.5

$2000$ e $\frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}}$ .

$f' (t) = \frac{2000 \cdot 75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8.6

Moltiplica $2000$ per $75$ .

$f' (t) = \frac{150000}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $150000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{150000}{{(4 t + 75)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $150000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(4 t + 75)}^{2}}]$ .

$f'' (t) = 150000 \frac{d}{d t} (\frac{1}{{(4 t + 75)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 t + 75)}^{2}}$ come ${({(4 t + 75)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (t) = 150000 \frac{d}{d t} ({({(4 t + 75)}^{2})}^{- 1})$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 t + 75)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = 150000 \frac{d}{d t} ({(4 t + 75)}^{2 \cdot - 1})$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (t) = 150000 \frac{d}{d t} ({(4 t + 75)}^{- 2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 2}$ e $g (t) = 4 t + 75$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 t + 75$ .

$f'' (t) = 150000 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (t) = 150000 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 t + 75$ .

$f'' (t) = 150000 (- 2 {(4 t + 75)}^{- 3} \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $150000$ .

$f'' (t) = - 300000 ({(4 t + 75)}^{- 3} \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t + 75$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75]$ .

$f'' (t) = - 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (\frac{d}{d t} (4 t) + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (4 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (t) = - 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (t) = - 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (4 + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 2.3.6

Poiché $75$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $75$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = - 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (4 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (t) = - 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} \cdot 4$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $4$ per $- 300000$ .

$f'' (t) = - 1200000 {(4 t + 75)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = - 1200000 \frac{1}{{(4 t + 75)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 1200000$ e $\frac{1}{{(4 t + 75)}^{3}}$ .

$f'' (t) = \frac{- 1200000}{{(4 t + 75)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = - \frac{1200000}{{(4 t + 75)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $- 1200000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{1200000}{{(4 t + 75)}^{3}}$ rispetto a $t$ è $- 1200000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(4 t + 75)}^{3}}]$ .

$f''' (t) = - 1200000 \frac{d}{d t} \frac{1}{{(4 t + 75)}^{3}}$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 t + 75)}^{3}}$ come ${({(4 t + 75)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (t) = - 1200000 \frac{d}{d t} {({(4 t + 75)}^{3})}^{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 t + 75)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (t) = - 1200000 \frac{d}{d t} {(4 t + 75)}^{3 \cdot - 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (t) = - 1200000 \frac{d}{d t} {(4 t + 75)}^{- 3}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 3}$ e $g (t) = 4 t + 75$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 t + 75$ .

$f''' (t) = - 1200000 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$f''' (t) = - 1200000 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 t + 75$ .

$f''' (t) = - 1200000 (- 3 {(4 t + 75)}^{- 4} \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1200000$ .

$f''' (t) = 3600000 ({(4 t + 75)}^{- 4} \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t + 75$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75]$ .

$f''' (t) = 3600000 {(4 t + 75)}^{- 4} (\frac{d}{d t} (4 t) + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f''' (t) = 3600000 {(4 t + 75)}^{- 4} (4 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (t) = 3600000 {(4 t + 75)}^{- 4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f''' (t) = 3600000 {(4 t + 75)}^{- 4} (4 + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 3.3.6

Poiché $75$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $75$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f''' (t) = 3600000 {(4 t + 75)}^{- 4} (4 + 0)$

Passaggio 3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $4$ e $0$ .

$f''' (t) = 3600000 {(4 t + 75)}^{- 4} \cdot 4$

Passaggio 3.3.7.2

Moltiplica $4$ per $3600000$ .

$f''' (t) = 14400000 {(4 t + 75)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (t) = 14400000 (\frac{1}{{(4 t + 75)}^{4}})$

Passaggio 3.4.2

$14400000$ e $\frac{1}{{(4 t + 75)}^{4}}$ .

$f''' (t) = \frac{14400000}{{(4 t + 75)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $14400000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{14400000}{{(4 t + 75)}^{4}}$ rispetto a $t$ è $14400000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(4 t + 75)}^{4}}]$ .

$f^{4} (t) = 14400000 \frac{d}{d t} (\frac{1}{{(4 t + 75)}^{4}})$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 t + 75)}^{4}}$ come ${({(4 t + 75)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (t) = 14400000 \frac{d}{d t} ({({(4 t + 75)}^{4})}^{- 1})$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 t + 75)}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (t) = 14400000 \frac{d}{d t} ({(4 t + 75)}^{4 \cdot - 1})$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f^{4} (t) = 14400000 \frac{d}{d t} ({(4 t + 75)}^{- 4})$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 4}$ e $g (t) = 4 t + 75$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 t + 75$ .

$f^{4} (t) = 14400000 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$f^{4} (t) = 14400000 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 t + 75$ .

$f^{4} (t) = 14400000 (- 4 {(4 t + 75)}^{- 5} \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $14400000$ .

$f^{4} (t) = - 57600000 ({(4 t + 75)}^{- 5} \frac{d}{d t} (4 t + 75))$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t + 75$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75]$ .

$f^{4} (t) = - 57600000 {(4 t + 75)}^{- 5} (\frac{d}{d t} (4 t) + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 4.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f^{4} (t) = - 57600000 {(4 t + 75)}^{- 5} (4 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (t) = - 57600000 {(4 t + 75)}^{- 5} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f^{4} (t) = - 57600000 {(4 t + 75)}^{- 5} (4 + \frac{d}{d t} (75))$

Passaggio 4.3.6

Poiché $75$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $75$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f^{4} (t) = - 57600000 {(4 t + 75)}^{- 5} (4 + 0)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Somma $4$ e $0$ .

$f^{4} (t) = - 57600000 {(4 t + 75)}^{- 5} \cdot 4$

Passaggio 4.3.7.2

Moltiplica $4$ per $- 57600000$ .

$f^{4} (t) = - 230400000 {(4 t + 75)}^{- 5}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (t) = - 230400000 \frac{1}{{(4 t + 75)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

$- 230400000$ e $\frac{1}{{(4 t + 75)}^{5}}$ .

$f^{4} (t) = \frac{- 230400000}{{(4 t + 75)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (t) = - \frac{230400000}{{(4 t + 75)}^{5}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $p (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{230400000}{{(4 t + 75)}^{5}}$ .

$- \frac{230400000}{{(4 t + 75)}^{5}}$