Calcolo Esempi

$y = \sqrt{49 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \sqrt{49 - x^{2}}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Passaggio 1.2.2

Imposta $7 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Imposta $7 + x$ uguale a $0$ .

$7 + x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 1.2.3

Imposta $7 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $7 - x$ uguale a $0$ .

$7 - x = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $7 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 7$

Passaggio 1.2.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 7$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.3.1

Dividi $- 7$ per $- 1$ .

$x = 7$

Passaggio 1.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 7, 7$

Passaggio 1.2.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 1.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 1.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.1.3

Il lato sinistro di $- 51$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 7 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 7 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.2.3

Il lato sinistro di $49$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 1.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.3.3

Il lato sinistro di $- 51$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

Passaggio 1.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 7 \leq x \leq 7$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 7, 7]$

Notazione intensiva:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Notazione degli intervalli:

$[- 7, 7]$

Notazione intensiva:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Passaggio 2

Per trovare i punti finali, sostituisci i limiti dei valori $x$ nel dominio in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $7$ da $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 - (- 7))}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 + 7)}$

Passaggio 2.2.4

Somma $7$ e $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 \cdot 14}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $0$ per $14$ .

$f (- 7) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (- 7) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 7) = 0$

Passaggio 2.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Passaggio 2.4

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Passaggio 2.4.2

Somma $7$ e $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - (7))}$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - 7)}$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $7$ da $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 \cdot 0}$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $14$ per $0$ .

$f (7) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (7) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (7) = 0$

Passaggio 2.4.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3

I punti finali sono $(- 7, 0), (7, 0)$ .

$(- 7, 0), (7, 0)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $- 5$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(- 5, 2 \sqrt{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $5$ da $7$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 - (- 5))}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 + 5)}$

Passaggio 4.1.2.4

Somma $7$ e $5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 \cdot 12}$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f (- 5) = \sqrt{24}$

Passaggio 4.1.2.6

Riscrivi $24$ come $2^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$f (- 5) = \sqrt{4 (6)}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Passaggio 4.1.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 5) = 2 \sqrt{6}$

Passaggio 4.1.2.8

La risposta finale è $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $- 3$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(- 3, 2 \sqrt{10})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $3$ da $7$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 - (- 3))}$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 + 3)}$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $7$ e $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 \cdot 10}$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $4$ per $10$ .

$f (- 3) = \sqrt{40}$

Passaggio 4.2.2.6

Riscrivi $40$ come $2^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.6.1

Scomponi $4$ da $40$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (10)}$

Passaggio 4.2.2.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Passaggio 4.2.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 3) = 2 \sqrt{10}$

Passaggio 4.2.2.8

La risposta finale è $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 4 \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $1$ da $7$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 - (- 1))}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 + 1)}$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $7$ e $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 \cdot 8}$

Passaggio 4.3.2.5

Moltiplica $6$ per $8$ .

$f (- 1) = \sqrt{48}$

Passaggio 4.3.2.6

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$f (- 1) = \sqrt{16 (3)}$

Passaggio 4.3.2.6.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (- 1) = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Passaggio 4.3.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 1) = 4 \sqrt{3}$

Passaggio 4.3.2.8

La risposta finale è $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $3$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(3, 2 \sqrt{10})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $7$ e $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - (3))}$

Passaggio 4.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - 3)}$

Passaggio 4.4.2.4

Sottrai $3$ da $7$ .

$f (3) = \sqrt{10 \cdot 4}$

Passaggio 4.4.2.5

Moltiplica $10$ per $4$ .

$f (3) = \sqrt{40}$

Passaggio 4.4.2.6

Riscrivi $40$ come $2^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.6.1

Scomponi $4$ da $40$ .

$f (3) = \sqrt{4 (10)}$

Passaggio 4.4.2.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Passaggio 4.4.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (3) = 2 \sqrt{10}$

Passaggio 4.4.2.8

La risposta finale è $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Passaggio 4.5

Sostituisci il valore $5$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(5, 2 \sqrt{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $7$ e $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - (5))}$

Passaggio 4.5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - 5)}$

Passaggio 4.5.2.4

Sottrai $5$ da $7$ .

$f (5) = \sqrt{12 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.2.5

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f (5) = \sqrt{24}$

Passaggio 4.5.2.6

Riscrivi $24$ come $2^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.6.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$f (5) = \sqrt{4 (6)}$

Passaggio 4.5.2.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Passaggio 4.5.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (5) = 2 \sqrt{6}$

Passaggio 4.5.2.8

La risposta finale è $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Passaggio 4.6

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(- 7, 0), (7, 0), (- 5, 4.9), (- 3, 6.32), (- 1, 6.93), (1, 6.93), (3, 6.32), (5, 4.9)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 0 \\ - 5 & 4.9 \\ - 3 & 6.32 \\ - 1 & 6.93 \\ 1 & 6.93 \\ 3 & 6.32 \\ 5 & 4.9 \\ 7 & 0 \end{array}$

Passaggio 5