Calcolo Esempi

$y = - x^{2} - 5 x + 6$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $- x^{2} - 5 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = 6$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$d = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$e = 6 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 6 - \frac{25}{- 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 6 - - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{25}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 6 + 1 (\frac{25}{4})$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{25}{4}$ per $1$ .

$e = 6 + \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$e = 6 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

$6$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{6 \cdot 4 + 25}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.5.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$e = \frac{24 + 25}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5.2

Somma $24$ e $25$ .

$e = \frac{49}{4}$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{49}{4}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 1.5.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{5}{2}, 12)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{25}{2}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Fuoco: $(- \frac{5}{2}, 12)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{5}{2}$

Direttrice: $y = \frac{25}{2}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Fuoco: $(- \frac{5}{2}, 12)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{5}{2}$

Direttrice: $y = \frac{25}{2}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 6$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 5 \cdot - 3 + 6$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- 3) = - 9 - 5 \cdot - 3 + 6$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 15 + 6$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $- 9$ e $15$ .

$f (- 3) = 6 + 6$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $6$ e $6$ .

$f (- 3) = 12$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 3$ è $12$ .

$y = 12$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = - {(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4 + 6$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4) = - 1 \cdot 16 - 5 \cdot - 4 + 6$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f (- 4) = - 16 - 5 \cdot - 4 + 6$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$f (- 4) = - 16 + 20 + 6$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $- 16$ e $20$ .

$f (- 4) = 4 + 6$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $4$ e $6$ .

$f (- 4) = 10$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 4$ è $10$ .

$y = 10$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 2.8.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} - 5 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 2.8.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 2.8.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 5 + 6$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Somma $- 1$ e $5$ .

$f (- 1) = 4 + 6$

Passaggio 2.8.2.2

Somma $4$ e $6$ .

$f (- 1) = 10$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $10$ .

$y = 10$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Passaggio 2.11.2.2

Somma $0$ e $6$ .

$f (0) = 6$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 0$ è $6$ .

$y = 6$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 10 \\ - 3 & 12 \\ - \frac{5}{2} & \frac{49}{4} \\ - 1 & 10 \\ 0 & 6 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Fuoco: $(- \frac{5}{2}, 12)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{5}{2}$

Direttrice: $y = \frac{25}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 10 \\ - 3 & 12 \\ - \frac{5}{2} & \frac{49}{4} \\ - 1 & 10 \\ 0 & 6 \end{array}$

Passaggio 4