Calcolo Esempi

$y = 12 x - 3 x^{2}$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riordina $12 x$ e $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 12 x$

Passaggio 1.1.2

Completa il quadrato per $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

Passaggio 1.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{6}{- 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.1.2.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3

Dividi $144$ per $- 12$ .

$e = 0 - - 12$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$e = 0 + 12$

Passaggio 1.1.2.4.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$e = 12$

Passaggio 1.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 3 {(x - 2)}^{2} + 12$ .

$- 3 {(x - 2)}^{2} + 12$

Passaggio 1.1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - 3 {(x - 2)}^{2} + 12$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 3$

$h = 2$

$k = 12$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(2, 12)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{12}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, \frac{143}{12})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 2$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{145}{12}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(2, 12)$

Fuoco: $(2, \frac{143}{12})$

Asse di simmetria: $x = 2$

Direttrice: $y = \frac{145}{12}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(2, 12)$

Fuoco: $(2, \frac{143}{12})$

Asse di simmetria: $x = 2$

Direttrice: $y = \frac{145}{12}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (1) = - 3 + 12 (1)$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f (1) = - 3 + 12$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 3$ e $12$ .

$f (1) = 9$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = 1$ è $9$ .

$y = 9$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 3 {(0)}^{2} + 12 (0)$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 12 (0)$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 12 (0)$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $12$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = 0$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3)$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3)$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$f (3) = - 27 + 12 (3)$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $12$ per $3$ .

$f (3) = - 27 + 36$

Passaggio 2.8.2

Somma $- 27$ e $36$ .

$f (3) = 9$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 3$ è $9$ .

$y = 9$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - 3 {(4)}^{2} + 12 (4)$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = - 3 \cdot 16 + 12 (4)$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $- 3$ per $16$ .

$f (4) = - 48 + 12 (4)$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $12$ per $4$ .

$f (4) = - 48 + 48$

Passaggio 2.11.2

Somma $- 48$ e $48$ .

$f (4) = 0$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 4$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 9 \\ 2 & 12 \\ 3 & 9 \\ 4 & 0 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(2, 12)$

Fuoco: $(2, \frac{143}{12})$

Asse di simmetria: $x = 2$

Direttrice: $y = \frac{145}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 9 \\ 2 & 12 \\ 3 & 9 \\ 4 & 0 \end{array}$

Passaggio 4