Calcolo Esempi

$x = y^{2} - 5 y$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $y^{2} - 5 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sottrai $\frac{25}{4}$ da $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 6, \frac{5}{2})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{13}{2}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Fuoco: $(- 6, \frac{5}{2})$

Asse di simmetria: $y = \frac{5}{2}$

Direttrice: $x = - \frac{13}{2}$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Fuoco: $(- 6, \frac{5}{2})$

Asse di simmetria: $y = \frac{5}{2}$

Direttrice: $x = - \frac{13}{2}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci il valore $- 5.25$ di $x$ in $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 5.25, 3.5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5.25$ nell'espressione.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sottrai $21$ da $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Somma $5$ e $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $7$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Riscrivi $7$ come $1 (7)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

Riscrivi $2$ come $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2}$

Passaggio 2.1.3

Converti $\frac{7}{2}$ in decimale.

$= 3.5$

Passaggio 2.2

Sostituisci il valore $- 5.25$ di $x$ in $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 5.25, 1.5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5.25$ nell'espressione.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Sottrai $21$ da $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.6

Sottrai $2$ da $5$ .

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Riscrivi $3$ come $1 (3)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.2.1

Riscrivi $2$ come $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.2.3

Converti $\frac{3}{2}$ in decimale.

$= 1.5$

Passaggio 2.3

Sostituisci il valore $- 4.25$ di $x$ in $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4.25$ nell'espressione.

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Sottrai $17$ da $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

La risposta finale è $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Passaggio 2.4

Sostituisci il valore $- 4.25$ di $x$ in $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4.25$ nell'espressione.

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Sottrai $17$ da $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Passaggio 2.4.2.2

La risposta finale è $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Passaggio 2.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Fuoco: $(- 6, \frac{5}{2})$

Asse di simmetria: $y = \frac{5}{2}$

Direttrice: $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Passaggio 4