Calcolo Esempi

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 2$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 2$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Passaggio 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.5

Scrivi $| x | \leq \sqrt{2}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 1.2.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 1.2.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.2.6

Trova l'intersezione di $x \leq \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.7

Risolvi $- x \leq \sqrt{2}$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \sqrt{2}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.7.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sqrt{2}$ come $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - \sqrt{2}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Passaggio 1.2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notazione intensiva:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Notazione degli intervalli:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notazione intensiva:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Passaggio 2

Per trovare i punti finali, sostituisci i limiti dei valori $x$ nel dominio in $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{2 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Passaggio 2.2.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Passaggio 2.2.5.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.5.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.5.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot 0$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $0$ per $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 2.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 2.4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 2.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 2.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Passaggio 2.4.2.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 1 \cdot 2)}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Passaggio 2.4.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Passaggio 2.4.3.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.3.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\sqrt{2}) = 0$

Passaggio 2.4.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3

I punti finali sono $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ .

$(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$

Passaggio 4

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Passaggio 5