Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x} - \ln (x)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

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Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{1}{x} - \ln (x)$ è indefinita.

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{1}{x} - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{1}{x} - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 1$

$m = 1$

Passaggio 1.5

Poiché $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ dove $a = - 1$ e $b = 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 1.6

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = - 1$

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = - 1$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{1} - \ln (1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Dividi $1$ per $1$ .

$f (1) = 1 - \ln (1)$

Passaggio 2.2.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = 1 - 0$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 2.3

Converti $1$ in decimale.

$y = 1$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{1}{2} - \ln (2)$

Passaggio 3.2

La risposta finale è $\frac{1}{2} - \ln (2)$ .

$\frac{1}{2} - \ln (2)$

Passaggio 3.3

Converti $\frac{1}{2} - \ln (2)$ in decimale.

$y = - 0.19314718$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{1}{3} - \ln (3)$

Passaggio 4.2

La risposta finale è $\frac{1}{3} - \ln (3)$ .

$\frac{1}{3} - \ln (3)$

Passaggio 4.3

Converti $\frac{1}{3} - \ln (3)$ in decimale.

$y = - 0.76527895$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, 1), (2, - 0.19314718), (3, - 0.76527895)$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.193 \\ 3 & - 0.765 \end{array}$

Passaggio 6