Calcolo Esempi

f (x) = ln (x^{2} - 2 x + 5)

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 5)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'argomento del logaritmo in modo che risulti uguale a zero.

x^{2} - 2 x + 5 = 0

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.2

Sostituisci i valori

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 2

$b = - 2$ e

c = 5

$c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per

x

$x$ .

\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Eleva

- 2

$- 2$ alla potenza di

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 5

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

5

$5$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Sottrai

20

$20$ da

4

$4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Riscrivi

- 16

$- 16$ come

- 1 (16)

$- 1 (16)$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Riscrivi

\sqrt{- 1 (16)}

$\sqrt{- 1 (16)}$ come

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.6

Riscrivi

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ come

i

$i$ .

x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.7

Riscrivi

16

$16$ come

4^{2}

$4^{2}$ .

x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.9

Sposta

4

$4$ alla sinistra di

i

$i$ .

x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 4 i}{2}

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica

\frac{2 \pm 4 i}{2}

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

x = 1 \pm 2 i

$x = 1 \pm 2 i$

x = 1 \pm 2 i

$x = 1 \pm 2 i$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

+

$+$ di

\pm

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Eleva

- 2

$- 2$ alla potenza di

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 5

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.3

Sottrai

$20$ da

$4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.4

Riscrivi

$- 16$ come

$- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.5

Riscrivi

$\sqrt{- 1 (16)}$ come

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.6

Riscrivi

$\sqrt{- 1}$ come

$i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.7

Riscrivi

$16$ come

$4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.9

Sposta

$4$ alla sinistra di

$i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Passaggio 1.2.4.4

Cambia da

$\pm$ a

$+$ .

$x = 1 + 2 i$

Passaggio 1.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

$-$ di

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Moltiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Sottrai

$20$ da

$4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.4

Riscrivi

$- 16$ come

$- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.5

Riscrivi

$\sqrt{- 1 (16)}$ come

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.6

Riscrivi

$\sqrt{- 1}$ come

$i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.7

Riscrivi

$16$ come

$4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.9

Sposta

$4$ alla sinistra di

$i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Passaggio 1.2.5.3

Semplifica

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Passaggio 1.2.5.4

Cambia da

$\pm$ a

$-$ .

$x = 1 - 2 i$

Passaggio 1.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Passaggio 1.3

L'asintoto verticale avviene a

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$ .

Asintoto verticale:

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

Asintoto verticale:

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 5)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \ln (1 - 2 \cdot 1 + 5)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

$- 2$ per

$1$ .

$f (1) = \ln (1 - 2 + 5)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai

$2$ da

$1$ .

$f (1) = \ln (- 1 + 5)$

Passaggio 2.2.2.2

Somma

$- 1$ e

$5$ .

$f (1) = \ln (4)$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è

$\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Passaggio 2.3

Converti

$\ln (4)$ in decimale.

$y = 1.38629436$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 5)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$f (2) = \ln (4 - 2 \cdot 2 + 5)$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$f (2) = \ln (4 - 4 + 5)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai

$4$ da

$4$ .

$f (2) = \ln (0 + 5)$

Passaggio 3.2.2.2

Somma

$0$ e

$5$ .

$f (2) = \ln (5)$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è

$\ln (5)$ .

$\ln (5)$

Passaggio 3.3

Converti

$\ln (5)$ in decimale.

$y = 1.60943791$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 5)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f (3) = \ln (9 - 2 \cdot 3 + 5)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica

$- 2$ per

$3$ .

$f (3) = \ln (9 - 6 + 5)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai

$6$ da

$9$ .

$f (3) = \ln (3 + 5)$

Passaggio 4.2.2.2

Somma

$3$ e

$5$ .

$f (3) = \ln (8)$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è

$\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Passaggio 4.3

Converti

$\ln (8)$ in decimale.

$y = 2.07944154$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$ e i punti

$(1, 1.38629436), (2, 1.60943791), (3, 2.07944154)$ .

Asintoto verticale:

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.386 \\ 2 & 1.609 \\ 3 & 2.079 \end{array}$

Passaggio 6