Calcolo Esempi

$x e^{x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione

$x e^{x}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola

$lim_{x \to - \infty} x e^{x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi

$x e^{x}$ come

$\frac{x}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Passaggio 3.2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 3.2.1.2

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 3.2.1.3

Poiché l'esponente

$- x$ tende a

$\infty$ , la quantità

$e^{- x}$ tende a

$\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.2

Poiché

$\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 3.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 3.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = e^{x}$ e

$g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

$a^{u} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.2.3.4

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- x$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Passaggio 3.2.3.6

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Passaggio 3.2.3.7

Sposta

$- 1$ alla sinistra di

$e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Passaggio 3.2.3.8

Riscrivi

$- 1 e^{- x}$ come

$- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di

$1$ e

$- 1$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Riscrivi

$1$ come

$- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Passaggio 3.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Passaggio 3.3

Sposta il termine

$- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Passaggio 3.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

$\frac{1}{e^{- x}}$ tende a

$0$ .

$- 0$

Passaggio 3.5

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali:

$y = 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7