Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 4$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.8

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.10

Riscrivi $- (x^{2} - 2 x - 4)$ come $- 1 (x^{2} - 2 x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.3.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.3.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.4.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.4.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.3.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.3.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1 + \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $1 + \sqrt{5}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) - 1}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 + \sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Somma $0$ e $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riscrivi ${(1 + \sqrt{5})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ .

$\frac{\sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Espandi $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5}}{1 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.3.1.2

Moltiplica $\sqrt{5}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{5}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.3.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.3.1.5

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.3.1.6

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.3.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5 + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.3.3

Somma $\sqrt{5}$ e $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Somma $6$ e $4$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ per $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ per $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{(10 + 2 \sqrt{5}) (10 - 2 \sqrt{5})}$

Passaggio 4.1.2.5

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{100 - 20 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{80}$

Passaggio 4.1.2.7

Elimina il fattore comune di $10 - 2 \sqrt{5}$ e $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Scomponi $2$ da $\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{80}$

Passaggio 4.1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $80$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Passaggio 4.1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Passaggio 4.1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{40}$

Passaggio 4.1.2.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Passaggio 4.1.2.9

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{40}$

Passaggio 4.1.2.10.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{40}$

Passaggio 4.1.2.10.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{40}$

Passaggio 4.1.2.10.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{40}$

Passaggio 4.1.2.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.11.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.11.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{40}$

Passaggio 4.1.2.11.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{40}$

Passaggio 4.1.2.11.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Passaggio 4.1.2.11.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.11.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Passaggio 4.1.2.11.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{1}}{40}$

Passaggio 4.1.2.11.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{40}$

Passaggio 4.1.2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5}{40}$

Passaggio 4.1.2.12

Elimina il fattore comune di $5 \sqrt{5} - 5$ e $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) - 5}{40}$

Passaggio 4.1.2.12.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)}{40}$

Passaggio 4.1.2.12.3

Scomponi $5$ da $5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{40}$

Passaggio 4.1.2.12.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.4.1

Scomponi $5$ da $40$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 (8)}$

Passaggio 4.1.2.12.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 \cdot 8}$

Passaggio 4.1.2.12.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5} - 1}{8}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1 - \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $1 - \sqrt{5}$ .

$\frac{(1 - \sqrt{5}) - 1}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 - \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $\sqrt{5}$ da $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Riscrivi ${(1 - \sqrt{5})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Espandi $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 (1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.2

Moltiplica $- \sqrt{5}$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.4

Moltiplica $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{5}$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{1} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5 + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3.3

Sottrai $\sqrt{5}$ da $- \sqrt{5}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5} + 4}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Somma $6$ e $4$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ per $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- (\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}})$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ per $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{(10 - 2 \sqrt{5}) (10 + 2 \sqrt{5})}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{100 + 20 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.5.3

Semplifica.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{80}$

Passaggio 4.2.2.5.4

Elimina il fattore comune di $10 + 2 \sqrt{5}$ e $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.4.1

Scomponi $2$ da $\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{80}$

Passaggio 4.2.2.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.4.2.1

Scomponi $2$ da $80$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Passaggio 4.2.2.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Passaggio 4.2.2.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{5} (5 + \sqrt{5})}{40}$

Passaggio 4.2.2.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Passaggio 4.2.2.5.6

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{5}$ .

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Passaggio 4.2.2.5.7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{40}$

Passaggio 4.2.2.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.6.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{40}$

Passaggio 4.2.2.6.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{40}$

Passaggio 4.2.2.6.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{5 \sqrt{5} + 5}{40}$

Passaggio 4.2.2.7

Elimina il fattore comune di $5 \sqrt{5} + 5$ e $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.7.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{5}$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5}{40}$

Passaggio 4.2.2.7.2

Scomponi $5$ da $5$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (1)}{40}$

Passaggio 4.2.2.7.3

Scomponi $5$ da $5 (\sqrt{5}) + 5 (1)$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{40}$

Passaggio 4.2.2.7.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.7.4.1

Scomponi $5$ da $40$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 (8)}$

Passaggio 4.2.2.7.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 \cdot 8}$

Passaggio 4.2.2.7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1 + \sqrt{5}, \frac{\sqrt{5} - 1}{8}), (1 - \sqrt{5}, - \frac{\sqrt{5} + 1}{8})$

Passaggio 5