Calcolo Esempi

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $8$ alla sinistra di ${(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Scomponi $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ da $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Scomponi $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ da $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Passaggio 1.1.4.1.2

Scomponi $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ da $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Passaggio 1.1.4.1.3

Scomponi $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ da $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Passaggio 1.1.4.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{7}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{7}$ uguale a $0$ .

$x^{7} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{7} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica $\sqrt[7]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 2.4

Imposta ${(x - 1)}^{6}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta ${(x - 1)}^{6}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{6} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{6} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $7 x + 8 (x - 1)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $7 x + 8 (x - 1)$ uguale a $0$ .

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $7 x + 8 (x - 1) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica $7 x + 8 (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2.1.1.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$7 x + 8 x - 8 = 0$

Passaggio 2.5.2.1.2

Somma $7 x$ e $8 x$ .

$15 x - 8 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$15 x = 8$

Passaggio 2.5.2.3

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x = 8$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Passaggio 2.5.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{8}{15}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ vera.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{7}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$0 {(- 1)}^{7}$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $7$ .

$0 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica ${((1) - 1)}^{7}$ per $1$ .

${((1) - 1)}^{7}$

Passaggio 4.2.2.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$0^{7}$

Passaggio 4.2.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{8}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $\frac{8}{15}$ .

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Passaggio 4.3.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $8$ .

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Passaggio 4.3.2.3

Eleva $15$ alla potenza di $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Passaggio 4.3.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

Passaggio 4.3.2.5

$- 1$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Passaggio 4.3.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Passaggio 4.3.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

Passaggio 4.3.2.7.2

Sottrai $15$ da $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

Passaggio 4.3.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

Passaggio 4.3.2.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

Passaggio 4.3.2.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Passaggio 4.3.2.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Passaggio 4.3.2.11

Eleva $7$ alla potenza di $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

Passaggio 4.3.2.12

Eleva $15$ alla potenza di $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

Passaggio 4.3.2.13

Moltiplica $\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.13.1

Moltiplica $\frac{16777216}{2562890625}$ per $\frac{823543}{170859375}$ .

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

Passaggio 4.3.2.13.2

Moltiplica $16777216$ per $823543$ .

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

Passaggio 4.3.2.13.3

Moltiplica $2562890625$ per $170859375$ .

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

Passaggio 5