Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 12 x^{2} - 16 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $4 x$ da $12 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) - 16 x = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $4 x$ da $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) + 4 x (- 4) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (3 x)$ .

$4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 4) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$4 x ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x - 1) (x + 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x - 1) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, 1, - 4$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 8 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 {(1)}^{3} - 8 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 4 - 8 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 - 8 \cdot 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$1 + 4 - 8 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $1$ e $4$ .

$5 - 8 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $8$ da $5$ .

$- 3 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $- 3$ e $1$ .

$- 2$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- 4$ a $x$ .

${(- 4)}^{4} + 4 {(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$256 + 4 {(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$256 + 4 \cdot - 64 - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $4$ per $- 64$ .

$256 - 256 - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$256 - 256 - 8 \cdot 16 + 1$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- 8$ per $16$ .

$256 - 256 - 128 + 1$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sottrai $256$ da $256$ .

$0 - 128 + 1$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sottrai $128$ da $0$ .

$- 128 + 1$

Passaggio 4.3.2.2.3

Somma $- 128$ e $1$ .

$- 127$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 1), (1, - 2), (- 4, - 127)$

Passaggio 5