Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + \frac{108}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{108}{x}$ rispetto a $x$ è $108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x + 108 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $108$ .

$f' (x) = 4 x - 108 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x - 108 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

$- 108$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{- 108}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x - \frac{108}{x^{2}}$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{2}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ per $x^{2}$ .

$4 x \cdot x^{2} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{2 + 1} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$4 x^{3} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{108}{x^{2}}$ nel numeratore.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{3} - 108 = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 108 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $108$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} = 108$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $108$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} - 108 = 0$

Passaggio 2.4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 108 = 0$

Passaggio 2.4.3.1.2

Scomponi $4$ da $- 108$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 27 = 0$

Passaggio 2.4.3.1.3

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 4 \cdot - 27$ .

$4 (x^{3} - 27) = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$4 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Passaggio 2.4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.4.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Passaggio 2.4.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Passaggio 2.4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Passaggio 2.4.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.4.6

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Passaggio 2.4.6.2

Risolvi $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 9$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vera.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{108}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

$2 {(3)}^{2} + \frac{108}{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 \cdot 9 + \frac{108}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 + \frac{108}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Dividi $108$ per $3$ .

$18 + 36$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $18$ e $36$ .

$54$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$2 {(0)}^{2} + \frac{108}{0}$

Passaggio 4.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(3, 54)$

Passaggio 5