Calcolo Esempi

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x^{3} - 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$60 x^{2} - 15 x^{4}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $15 u$ da $- 15 u^{2} + 60 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $15 u$ da $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 60 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $15 u$ da $60 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $15 u$ da $15 u (- u) + 15 u (4)$ .

$15 u (- u + 4) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $- x^{2} + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- x^{2} + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 4$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ vera.

$x = 0, 2, - 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $20 x^{3} - 3 x^{5}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$20 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{5}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$20 \cdot 0 - 3 {(0)}^{5}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $20$ per $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{5}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 3 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$20 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{5}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$20 \cdot 8 - 3 {(2)}^{5}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $20$ per $8$ .

$160 - 3 {(2)}^{5}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$160 - 3 \cdot 32$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $32$ .

$160 - 96$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $96$ da $160$ .

$64$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$20 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$20 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 8$ .

$- 160 - 3 {(- 2)}^{5}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$- 160 - 3 \cdot - 32$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 32$ .

$- 160 + 96$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $- 160$ e $96$ .

$- 64$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (2, 64), (- 2, - 64)$

Passaggio 5