Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $12 x^{2} + 6 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $6$ da $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $6$ da $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\frac{1}{2}$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.8

$3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.9.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.3

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.6

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.7

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{5 - 12 + 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Sottrai $12$ da $5$ .

$\frac{- 7 + 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.4.4

Somma $- 7$ e $4$ .

$\frac{- 3}{4}$

Passaggio 4.1.2.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{4}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

$4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$- 4 + 3 + 6 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $- 4$ e $3$ .

$- 1 + 6 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$5 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $5$ e $1$ .

$6$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}), (- 1, 6)$

Passaggio 5