Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 30 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 30$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12 x^{3} - 60 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} - 60 x$ .

$12 x^{3} - 60 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} - 60 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 60 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3} - 60 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 60 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12 x$ da $- 60 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 5) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 x$ da $12 x (x^{2}) + 12 x (- 5)$ .

$12 x (x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 5$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 5$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x (x^{2} - 5) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$3 {(0)}^{4} - 30 {(0)}^{2} + 27$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 30 \cdot 0 + 27$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 30$ per $0$ .

$0 + 0 + 27$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 27$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $27$ .

$27$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $\sqrt{5}$ .

$3 {(\sqrt{5})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{4}$ come $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $3$ per $25$ .

$75 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Passaggio 4.2.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 30$ per $5$ .

$75 - 150 + 27$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $150$ da $75$ .

$- 75 + 27$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 75$ e $27$ .

$- 48$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $- \sqrt{5}$ .

$3 {(- \sqrt{5})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{5}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$3 (1 {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{5}}^{4}$ per $1$ .

$3 {\sqrt{5}}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{4}$ come $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $3$ per $25$ .

$75 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.7

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{5}$ .

$75 - 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Passaggio 4.3.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$75 - 30 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Passaggio 4.3.2.1.9

Moltiplica ${\sqrt{5}}^{2}$ per $1$ .

$75 - 30 {\sqrt{5}}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.10.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Passaggio 4.3.2.1.10.5

Calcola l'esponente.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Passaggio 4.3.2.1.11

Moltiplica $- 30$ per $5$ .

$75 - 150 + 27$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sottrai $150$ da $75$ .

$- 75 + 27$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $- 75$ e $27$ .

$- 48$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 27), (\sqrt{5}, - 48), (- \sqrt{5}, - 48)$

Passaggio 5