Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{2} + 4 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x + 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = 10 x + 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 x + 4$ .

$10 x + 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 x + 4 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 x + 4 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = - 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 4$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{10}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{10}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{5}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $5 x^{2} + 4 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{2}{5}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{2}{5}$ a $x$ .

$5 {(- \frac{2}{5})}^{2} + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{5}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$5 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ per $1$ .

$5 \frac{2^{2}}{5^{2}} + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$5 \frac{4}{5^{2}} + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$5 (\frac{4}{25}) + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 4.1.2.1.6.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$5 \frac{4}{5 (5)} + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{4}{5 \cdot 5} + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{5} + 4 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.7

Moltiplica $4 (- \frac{2}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5})$

Passaggio 4.1.2.1.7.2

$- 4$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.7.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{4}{5} + \frac{- 8}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{5} - \frac{8}{5}$

Passaggio 4.1.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 8}{5}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$\frac{- 4}{5}$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{5}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{2}{5}, - \frac{4}{5})$

Passaggio 5