Calcolo Esempi

$f (x) = x {(4 - x)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(4 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{3}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \cdot 1) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.9

Moltiplica ${(4 - x)}^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Scomponi ${(4 - x)}^{2}$ da $x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Scomponi ${(4 - x)}^{2}$ da $x (- 3 {(4 - x)}^{2})$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{3}$

Passaggio 1.1.4.1.2

Scomponi ${(4 - x)}^{2}$ da ${(4 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$

Passaggio 1.1.4.1.3

Scomponi ${(4 - x)}^{2}$ da ${(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 - x)$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 4 - x)$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.3

Riscrivi ${(4 - x)}^{2}$ come $(4 - x) (4 - x)$ .

$f' (x) = (4 - x) (4 - x) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.4

Espandi $(4 - x) (4 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (4 (4 - x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (x) = (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.5.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.5.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1.5.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.5.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.5.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.5.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$f' (x) = (16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.6

Espandi $(16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f' (x) = 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$f' (x) = - 64 x + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.2

Moltiplica $16$ per $4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x \cdot x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.4.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x^{2}) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.5

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.6

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.8.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.7.9

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.4.8

Sottrai $32 x$ da $- 64 x$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 + 32 x^{2} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.4.9

Somma $32 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4$ da $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $4$ da $- 96 x$ .

$4 (- 24 x) + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $4$ da $64$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $4$ da $- 4 x^{3}$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 36 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $4$ da $36 x^{2}$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- 24 x) + 4 (16)$ .

$4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3})$ .

$4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2})$ .

$4 (- 24 x + 16 - x^{3} + 9 x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riordina i termini.

$4 (- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2.3.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 2.2.3.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.2.3.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.2.3.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.2.3.1.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.2.3.1.3.5

Moltiplica $9$ per $1$ .

$- 1 + 9 - 24 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.2.3.1.3.6

Somma $- 1$ e $9$ .

$8 - 24 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.2.3.1.3.7

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$8 - 24 + 16$

Passaggio 2.2.3.1.3.8

Sottrai $24$ da $8$ .

$- 16 + 16$

Passaggio 2.2.3.1.3.9

Somma $- 16$ e $16$ .

$0$

Passaggio 2.2.3.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16}{x - 1}$

Passaggio 2.2.3.1.5

Dividi $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Passaggio 2.2.3.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$

Passaggio 2.2.3.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x^{2} - 8 x$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Passaggio 2.2.3.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Passaggio 2.2.3.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Passaggio 2.2.3.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 16 x + 16$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 2.2.3.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$
										$0$

Passaggio 2.2.3.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} + 8 x - 16$

Passaggio 2.2.3.1.6

Scrivi $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ come insieme di fattori.

$4 ((x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ e la cui somma è $b = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 (x) - 16) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.1.2

Riscrivi $8$ come $4$ più $4$ .

$4 (x - 1) (- x^{2} + (4 + 4) x - 16) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 4 x + 4 x - 16) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$4 (x - 1) ((- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 (x - 1) (x (- x + 4) - 4 (- x + 4)) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 4$ .

$4 (x - 1) ((- x + 4) (x - 4)) = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 1) (- x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.2.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$4 (x - 1) (- (x) + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$4 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot - 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.2.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$4 (x - 1) (- (x - 4)) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.2.5.4

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$4 (x - 1) (- 1 (x - 4)) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.2.5.5

Rimuovi le parentesi.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 4) (x - 4)) = 0$

Passaggio 2.2.5.6

Eleva $x - 4$ alla potenza di $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Passaggio 2.2.5.7

Eleva $x - 4$ alla potenza di $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Passaggio 2.2.5.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) = 0$

Passaggio 2.2.5.9

Somma $1$ e $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.5.10

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi ${(x - 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ vera.

$x = 1, 4$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x {(4 - x)}^{3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$(1) {(4 - (1))}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica ${(4 - (1))}^{3}$ per $1$ .

${(4 - (1))}^{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

${(4 - 1)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Sottrai $1$ da $4$ .

$3^{3}$

Passaggio 4.1.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$(4) {(4 - (4))}^{3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 {(4 - 4)}^{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$4 \cdot 0^{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 27), (4, 0)$

Passaggio 5