Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} - 2 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{3} - 4 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - 2 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - 2 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 - 2 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $1$ .

$4 + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 + {(- 2)}^{1 + 2}$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$4 + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$4 - 8$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$- 4$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(2)}^{4} - 2 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - 2 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 - 2 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 - 2 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$4 - 8$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$- 4$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (- 2, - 4), (2, - 4)$

Passaggio 5