Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.6.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.1.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)$

Passaggio 1.1.10.2

$2$ e $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

Passaggio 1.1.10.3

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ come ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$27 {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$27 {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$27 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Passaggio 3.3.3.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.3

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.3.2

Risolvi ${(x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.3.3.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.3.3.4

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.3.3.4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.3.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 3.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Passaggio 4

Risolvi ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sottrai $1$ da $0$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 1)}^{1}$

Passaggio 4.1.2.3

Calcola l'esponente.

$- 1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{1}$

Passaggio 4.2.2.3

Calcola l'esponente.

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{1}$

Passaggio 4.3.2.3

Calcola l'esponente.

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Passaggio 5