Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $x^{2} - 4$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = 4$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = 4$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Dividi $4$ per $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Passaggio 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 2.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 2.3.4.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.3.4.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 2.3.4.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.3

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.2.3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.2.4

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.2.4.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x}{x^{2} - 4}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $- 2$ .

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 2}{4 - 4}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{- 2}{0}$

Passaggio 4.1.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2}{4 - 4}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{2}{0}$

Passaggio 4.2.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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