Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ come ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 1.1.10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.12

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$

Passaggio 1.1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.13.2

Moltiplica $2 x - 2$ per $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.13.3

Scomponi $2$ da $2 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.13.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.13.3.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 1) = 0$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ come ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$27 {(x \cdot x - 2 x)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$27 {(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$27 {(x (x - 2))}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $x (x - 2)$ .

$27 (x^{2} {(x - 2)}^{2}) = 0$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.3

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.3.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.3.3.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.3.3.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.3.4

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3.4.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.3.3.4.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.3.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 3.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = 0, x = 2$

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\sqrt[3]{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt[3]{1 - 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\sqrt[3]{1 - 2}$

Passaggio 4.1.2.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\sqrt[3]{- 1}$

Passaggio 4.1.2.4

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$- 1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sqrt[3]{0 - 2 \cdot 0}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\sqrt[3]{0 + 0}$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$\sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 4.2.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 2 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.3.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 4.3.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(1, - 1), (0, 0), (2, 0)$

Passaggio 5