Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.2.10

$- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.12

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{\frac{3}{2}} = 2$

Passaggio 2.4.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{2}{3}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.3

Semplifica.

$2^{\frac{2}{3}} x = 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.4

Riordina i fattori in $2^{\frac{2}{3}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.4

Dividi per $2^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Dividi per $2^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.4.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.4.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{\sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 3.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4

Risolvi $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

${(1)}^{2} - 4 \sqrt{1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 4 \sqrt{1}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$1 - 4 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$1 - 4$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 3$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

${(0)}^{2} - 4 \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 4 \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$0 - 4 \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0 - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, - 3), (0, 0)$

Passaggio 5